Geboren in Schwerin / Deutschland. Seine Kindheit und Schulzeit verbringt Goesch in Berlin. Das Studium der Architektur schließt er als Regierungsbaumeister ab. Während der Kriegsjahre von 1915 bis 1917 ist er im Postdienst in Kulm (Ostpreußen, heutiges Chelmo, Polen) beschäftigt. Um 1920 lebt er in Berlin, wo er eine psychische Krise erleidet. Es folgen erste Ausstellungsbeteiligungen und Mitgliedschaften in mehreren avantgardistischen Künstlervereini-gungen, so zum Beispiel in der von Bruno Taut initiierten „Die gläserne Kette“.

Ab 1935 ist Goesch Patient in verschiedenen Heilanstalten und wird laut mündlicher Überlieferung 1940 durch die Nazis in der psychiatrischen Klinik Brandenburg ermordet. In seinen Bildern kombiniert Goesch meist Frauengestalten, die er durch farbige Flächen gliedert und ohne definierte Gesichtszüge nur in ihren Umrissen zeigt. Paul Goesch zählt zu den Künstlern der Prinzhorn Sammlung.