Geboren in Schwerin/Deutschland. Seine Kindheit und Schulzeit verbrachte er in Berlin. Das Studium der Architektur schloss er als Regierungsbaumeister ab. Während der Kriegsjahre von 1915 bis1917 war er im Postdienst in Kulm ( Ostpreußen, heutiges Chelmo, Polen ) beschäftigt. Er erlitt eine psychische Krise und lebte um 1920 in Berlin. Es folgten erste Ausstellungsbeteiligungen und Mitgliedschaften in mehreren avantgardistischen Künstlervereinigungen, so zum Beispiel in der von Bruno Taut initiierten „Gläsernen Kette“.

Ab 1935 war Geosch Patient in verschiedenen Heilanstalten und wurde laut mündlicher 1940 durch die Nazis in der psychiatrischen Klinik Brandenburg ermordet. In seinen Bildern kombiniert Goesch meist Frauengestalten, die er durch farbige Flächen gliedert und ohne definierte Gesichtszüge nur in ihren Umrissen zeigt. Paul Goesch zählt zu den Künstlern der Prinzhorn Sammlung.